У цій публікації ми розглянемо, що таке лінійна комбінація рядків, лінійно залежні та незалежні рядки. Також наведемо приклади для кращого розуміння теоретичного матеріалу.
Визначення лінійної комбінації рядків
Лінійне поєднання (ЛК) термін s1з2, …, сn матриця A називають виразом такого вигляду:
αs1 + αs2 + … + αsn
Якщо всі коефіцієнти αi дорівнюють нулю, тому LC є тривіальний. Іншими словами, тривіальна лінійна комбінація дорівнює нульовому рядку.
Наприклад: 0 · с1 + 0 · с2 + 0 · с3
Відповідно, якщо хоча б один з коефіцієнтів αi не дорівнює нулю, то LC є нетривіальний.
Наприклад: 0 · с1 + 2 · с2 + 0 · с3
Лінійно залежні та незалежні ряди
Струнна система є лінійно залежні (LZ), якщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, яка дорівнює нульовій лінії.
Звідси випливає, що нетривіальний LC може в деяких випадках дорівнювати нульовому рядку.
Струнна система є лінійно незалежні (LNZ), якщо лише тривіальний LC дорівнює нульовому рядку.
Примітки:
- У квадратній матриці система рядків є ЛЗ тільки в тому випадку, якщо визначник цієї матриці дорівнює нулю ( = 0).
- У квадратній матриці система рядків є ЛІС тільки в тому випадку, якщо визначник цієї матриці не дорівнює нулю ( ≠ 0).
Приклад задачі
Давайте дізнаємося, чи є система рядків
Рішення:
1. Спочатку створимо LC.
α1{3 4} + a2{9 12}.
2. Тепер давайте дізнаємося, які значення потрібно приймати α1 и α2так що лінійна комбінація дорівнює нульовому рядку.
α1{3 4} + a2{9 12} = {0 0}.
3. Складемо систему рівнянь:
4. Розділіть перше рівняння на три, друге на чотири:
5. Розв’язок даної системи будь-який α1 и α2, З α1 = -3a2.
Наприклад, якщо α2 = 2потім α1 = -6. Підставляємо ці значення в наведену вище систему рівнянь і отримуємо:
Відповідь: тому лінії s1 и s2 лінійно залежні.