У цій публікації ми розглянемо, що таке метод Гаусса, для чого він потрібен і в чому його принцип. Також на практичному прикладі продемонструємо, як метод можна застосувати для розв’язання системи лінійних рівнянь.
Опис методу Гауса
Метод Гауса це класичний метод послідовного усунення змінних, що використовуються для вирішення. Названо на честь німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-1885).
Але спочатку нагадаємо, що SLAU може:
- мати одне єдине рішення;
- мають нескінченну кількість рішень;
- бути несумісними, тобто не мати рішень.
Практична користь
Метод Гаусса — чудовий спосіб розв’язати СЛАУ, що містить більше трьох лінійних рівнянь, а також системи, які не є квадратними.
Принцип методу Гауса
Метод включає наступні кроки:
- прямий – доповнена матриця, що відповідає системі рівнянь, приведена шляхом над рядками до верхнього трикутного (ступінчастого) вигляду, тобто під головною діагоналлю повинні бути лише елементи, що дорівнюють нулю.
- назад – в результуючій матриці елементи над головною діагоналлю також обнулені (нижній трикутний вигляд).
Приклад рішення SLAE
Давайте розв’яжемо наведену нижче систему лінійних рівнянь за допомогою методу Гаусса.
рішення
1. Для початку представимо СЛАЕ у вигляді розгорнутої матриці.
2. Тепер наше завдання скинути всі елементи під головною діагоналлю. Подальші дії залежать від конкретної матриці, нижче ми опишемо ті, що стосуються нашого випадку. Спочатку міняємо місцями ряди, таким чином розташовуючи їх перші елементи в порядку зростання.
3. З другого ряду відняти удвічі перший, а з третього – потроїти перший.
4. Додайте другий рядок до третього рядка.
5. Від першого рядка відняти другий, а третій рядок одночасно розділити на -10.
6. Перший етап завершено. Тепер нам потрібно отримати нульові елементи над головною діагоналлю. Для цього з першого рядка віднімаємо третє, помножене на 7, а до другого додаємо третє, помножене на 5.
7. Остаточна розгорнута матриця виглядає так:
8. Відповідає системі рівнянь:
Відповідь: корінь SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.