Перехресний добуток векторів

У цій публікації ми розглянемо, як знайти перехресний добуток двох векторів, дамо геометричну інтерпретацію, алгебраїчну формулу та властивості цієї дії, а також розберемо приклад розв’язання задачі.

Геометрична інтерпретація

Векторний добуток двох ненульових векторів a и b є вектором c, що позначається як [a, b] or a x b.

Довжина вектора c дорівнює площі паралелограма, побудованого за допомогою векторів a и b.

В цьому випадку, c перпендикулярно до площини, в якій вони знаходяться a и b, і розташований так, що найменше обертання від a к b виконувалася проти годинникової стрілки (з точки зору кінця вектора).

Формула перехресного продукту

Добуток векторів a = {a_x; до_y,_z} i b = {b_x; б_y, б_z} обчислюється за допомогою однієї з наведених нижче формул:

Перехресні властивості продукту

1. Перехресний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.

[a, b] = 0, Якщо a || b.

2. Модуль перехресного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, утвореного цими векторами.

S_{паралельно} = |a x b|

3. Площа трикутника, утвореного двома векторами, дорівнює половині їх векторного добутку.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Вектор, який є добутком двох інших векторів, перпендикулярний до них.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (м a) х a = a х (м b) = м (a x b)

один.(a + b) х c = a x c + b x c

Приклад задачі

Обчисліть перехресний добуток a = {2; 4; 5} и b = {9; - два; 3}.

Рішення:

Відповідь: a x b = {19; 43; -42}.