зміст
У цій публікації ми розглянемо, що таке раціональні числа, як їх порівнювати між собою, а також які арифметичні дії з ними можна виконувати (додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня). Теоретичний матеріал ми супроводжуватимемо практичними прикладами для кращого розуміння.
Означення раціонального числа
Раціональний це число, яке можна представити як . Множина раціональних чисел має спеціальне позначення – Q.
Правила порівняння раціональних чисел:
- Будь-яке позитивне раціональне число більше нуля. Позначається спеціальним знаком «більше». ">».
Наприклад: 5>0, 12>0, 144>0, 2098>0 тощо.
- Будь-яке від’ємне раціональне число менше нуля. Позначається символом «менше». "<».
Наприклад: -3<0, -22<0, -164<0, -3042<0 тощо.
- З двох додатних раціональних чисел більше те, яке має більше за модулем значення.
Наприклад: 10>4, 132>26, 1216<1516 і т.д.
- З двох від’ємних раціональних чисел більшим є те, яке має менше абсолютне значення.
Наприклад: -3>-20, -14>-202, -54<-10 і т.д.
Арифметичні дії з раціональними числами
Доповнення
1. Щоб знайти суму раціональних чисел з однаковими знаками, просто скласти їх, а потім поставити перед отриманим результатом їхній знак.
Наприклад:
- 5 + = 2
+ (5 + 2) =+ 7 = 7 - 13 + 8 + 4 =
+ (13 + 8 + 4) =+ 25 = 25 - -9 + (-11) =
– (9 + 11) = -20 - -14 + (-53) + (-3) =
– (14 + 53 + 3) = -70
Примітка: Якщо перед цифрою немає знака, значить "+“, тобто позитивно. Також у результаті «плюс» можна опустити.
2. Щоб знайти суму раціональних чисел з різними знаками, до числа з великим модулем додаємо ті, знак яких з ним збігається, а числа з протилежними знаками віднімаємо (беремо абсолютні значення). Потім перед результатом ставимо знак числа, від якого все віднімали.
Наприклад:
- -6 + 4 =
– (6 – 4) = -2 - 15 + (-11) =
+ (15 – 11) =+ 4 = 4 - -21 + 15 + 2 + (-4) =
– (21 + 4 – 15 – 2) = -8 - 17 + (-6) + 10 + (-2) =
+ (17 + 10 – 6 – 2) = 19
Віднімання
Щоб знайти різницю двох раціональних чисел, до числа, яке віднімаємо, додаємо протилежне.
Наприклад:
- 9 – 4 = 9 + (-4) = 5
- 3 – 7 = 3 + (-7) =
– (7 – 3) = -4
Якщо від'ємників декілька, то спочатку скласти всі додатні числа, а потім усі від'ємні (включаючи скорочене). Таким чином ми отримуємо два раціональних числа, різницю яких знаходимо за наведеним вище алгоритмом.
Наприклад:
- 12 – 5 – 3 =
12 – (5 + 3) = 4 - 22 – 16 – 9 =
22 – (16 + 9) =22 - 25 =– (25 – 22) = -3
Множення
Щоб знайти добуток двох раціональних чисел, просто перемножте їх модулі, а потім поставте перед отриманим результатом:
- підпис "+"якщо обидва множники мають однаковий знак;
- підпис "-"якщо фактори мають різні знаки.
Наприклад:
- 3 7 = 21
- -15 4 = -60
Якщо факторів більше двох, то:
- Якщо всі числа позитивні, то результат буде підписаний. «плюс».
- Якщо є і позитивні, і негативні числа, то підраховуємо кількість останніх:
- парне число є результатом с "більше";
- непарне число – результат с «мінус».
Наприклад:
- 5 (-4) 3 (-8) = 480
- 15 (-1) (-3) (-10) 12 = -5400
Роздільна
Як і у випадку з множенням, виконуємо дію з модулями чисел, потім ставимо відповідний знак, враховуючи правила, описані в абзаці вище.
Наприклад:
- 12:4=3
- 48 : (-6) = -8
- 50 : (-2) : (-5) = 5
- 128 : (-4) : (-8) : (-1) = -4
Експоненція
Піднесення раціонального числа a в n це те саме, що помножити це число на саме себе nю кількість разів. Пишеться як a n.
При цьому:
- Будь-який ступінь додатного числа призводить до додатного числа.
- Парний ступінь від’ємного числа додатний, непарний – від’ємний.
Наприклад:
- 26 = 2 2 2 2 2 2 = 64
- -34 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
- -63 = (-6) · (-6) · (-6) = -216