У цій публікації ми розглянемо одну з основних теорем геометрії 8 класу – теорему Фалеса, яка отримала таку назву на честь грецького математика і філософа Фалеса з Мілета. Також розберемо приклад розв’язання задачі для закріплення викладеного матеріалу.
Формулювання теореми
Якщо на одній із двох прямих відміряти рівні відрізки і через їх кінці провести паралельні прямі, то, перетинаючи другу пряму, відріжуть на ній рівні між собою відрізки.
- A1A2 = A2A3 ...
- B1B2 =B2B3 ...
Примітка: Взаємний перетин січних не грає ролі, тобто теорема справедлива як для прямих, що перетинаються, так і для паралельних. Розташування відрізків на січних також не має значення.
Узагальнене формулювання
Теорема Фалеса є окремим випадком теореми про пропорційний відрізок*: паралельні лінії відрізають пропорційні відрізки на січних.
Відповідно до цього для нашого малюнка вище вірна рівність:
* оскільки рівні відрізки, в тому числі, пропорційні з коефіцієнтом пропорційності, що дорівнює одиниці.
Обернена теорема Фалеса
1. Для січних, що перетинаються
Якщо прямі перетинають дві інші прямі (паралельні чи ні) і відрізають на них рівні або пропорційні відрізки, починаючи з верхньої частини, то ці прямі паралельні.
З оберненої теореми випливає:
Необхідна умова: рівні відрізки повинні починатися зверху.
2. Для паралельних січних
Відрізки на обох січних повинні бути рівні між собою. Тільки в цьому випадку теорема застосовна.
- a || b
- A1A2 =B1B2 = A2A3 =B2B3 ...
Приклад задачі
Дано відрізок AB на поверхні. Розділіть його на 3 рівні частини.
рішення
Малювати з точки A прямий a і відзначте на ньому три послідовних рівних відрізка: AC, CD и DE.
крайня точка E на прямій a з'єднати крапкою B на сегменті. Після цього через інші точки C и D паралельно BE провести дві лінії, які перетинають відрізок AB.
Утворені таким чином точки перетину відрізка АВ ділять його на три рівні частини (згідно з теоремою Фалеса).