Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

У цій публікації ми розглянемо одну з основних теорем геометрії 8 класу – теорему Фалеса, яка отримала таку назву на честь грецького математика і філософа Фалеса з Мілета. Також розберемо приклад розв’язання задачі для закріплення викладеного матеріалу.

зміст

Формулювання теореми

Якщо на одній із двох прямих відміряти рівні відрізки і через їх кінці провести паралельні прямі, то, перетинаючи другу пряму, відріжуть на ній рівні між собою відрізки.

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

  • A1A2 = A2A3 ...
  • B1B2 =B2B3 ...

Примітка: Взаємний перетин січних не грає ролі, тобто теорема справедлива як для прямих, що перетинаються, так і для паралельних. Розташування відрізків на січних також не має значення.

Узагальнене формулювання

Теорема Фалеса є окремим випадком теореми про пропорційний відрізок*: паралельні лінії відрізають пропорційні відрізки на січних.

Відповідно до цього для нашого малюнка вище вірна рівність:

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

* оскільки рівні відрізки, в тому числі, пропорційні з коефіцієнтом пропорційності, що дорівнює одиниці.

Обернена теорема Фалеса

1. Для січних, що перетинаються

Якщо прямі перетинають дві інші прямі (паралельні чи ні) і відрізають на них рівні або пропорційні відрізки, починаючи з верхньої частини, то ці прямі паралельні.

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

З оберненої теореми випливає:

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

Необхідна умова: рівні відрізки повинні починатися зверху.

2. Для паралельних січних

Відрізки на обох січних повинні бути рівні між собою. Тільки в цьому випадку теорема застосовна.

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

  • a || b
  • A1A2 =B1B2 = A2A3 =B2B3 ...

Приклад задачі

Дано відрізок AB на поверхні. Розділіть його на 3 рівні частини.

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

рішення

Теорема Фалеса: формулювання та приклад розв’язання задачі

Малювати з точки A прямий a і відзначте на ньому три послідовних рівних відрізка: AC, CD и DE.

крайня точка E на прямій a з'єднати крапкою B на сегменті. Після цього через інші точки C и D паралельно BE провести дві лінії, які перетинають відрізок AB.

Утворені таким чином точки перетину відрізка АВ ділять його на три рівні частини (згідно з теоремою Фалеса).

залишити коментар