Знаходження оберненої матриці

У цій публікації ми розглянемо, що таке обернена матриця, а також на практичному прикладі розберемо, як її можна знайти за допомогою спеціальної формули і алгоритму послідовних дій.

Означення оберненої матриці

Спочатку давайте згадаємо, що таке зворотні величини в математиці. Скажімо, у нас є число 7. Тоді його зворотним буде 7^-1 or ¹/₇. Якщо ці числа помножити, то вийде одиниця, тобто 7 7^-1 = 1.

Майже те саме з матрицями. Зворотній називається така матриця, помноживши яку на вихідну, отримаємо одиничну. Вона позначена як A^-1.

А · А^-1 =E

Алгоритм знаходження оберненої матриці

Щоб знайти обернену матрицю, необхідно вміти обчислювати матриці, а також мати навички виконання певних дій з ними.

Відразу слід зазначити, що обернену можна знайти тільки для квадратної матриці, і це робиться за допомогою наведеної нижче формули:

|A| – матричний визначник;

A^T_M є транспонованою матрицею алгебраїчних доповнень.

Примітка: якщо визначник дорівнює нулю, то обернена матриця не існує.

Приклад

Давайте знайдемо для матриці A нижче наведено його зворотний бік.

рішення

1. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці.

2. Тепер давайте зробимо матрицю, яка має такі ж розміри, як і вихідна:

Треба визначити, які цифри замінити зірочки. Почнемо з верхнього лівого елемента матриці. Менший до нього знаходять, викреслюючи рядок і стовпець, у яких він знаходиться, тобто в обох випадках під номером один.

Число, яке залишається після прокреслення, є шуканим мінором, тобто M₁₁ = 8.

Аналогічно знаходимо мінори для решти елементів матриці і отримуємо наступний результат.

3. Визначаємо матрицю алгебраїчних доповнень. Як розрахувати їх для кожного елемента, ми розглянули в окремому.

Наприклад, для елемента a₁₁ алгебраїчне додавання розглядається наступним чином:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Виконайте транспозицію отриманої матриці алгебраїчних доповнень (тобто поміняйте місцями стовпці та рядки).

5. Залишається лише скористатися формулою, наведеною вище, щоб знайти обернену матрицю.

Відповідь можна залишити в такому вигляді, не ділячи елементи матриці на число 11, так як в цьому випадку ми отримаємо некрасиві дробові числа.

Перевірка результату

Щоб переконатися, що ми отримали обернену вихідну матрицю, ми можемо знайти їх добуток, який має дорівнювати одиничній матриці.

В результаті ми отримали матрицю ідентичності, тобто все зробили правильно.