Означення та властивості медіани прямокутного трикутника

У цій статті ми розглянемо визначення та властивості медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи. Також розберемо приклад розв’язання задачі на закріплення теоретичного матеріалу.

Визначення медіани прямокутного трикутника

Медіана це відрізок, що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Прямокутний трикутник — трикутник, у якого один із кутів прямий (90°), а два інших — гострі (<90°).

Властивості медіани прямокутного трикутника

Властивість 1

Медіана (AD) у прямокутному трикутнику, проведеному з вершини прямого кута (∠LAC) до гіпотенузи (BC) дорівнює половині гіпотенузи.

• до н.е. = 2 н.е
• AD = BD = DC

Наслідок: Якщо медіана дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то ця сторона є гіпотенузою, а трикутник — прямокутним.

Властивість 2

Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині квадратного кореня із суми квадратів катетів.

Для нашого трикутника (див. малюнок вище):

Це випливає з і Властивості 1.

Властивість 3

Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника.

Ті. BO є як медіаною, так і радіусом.

Примітка: Також застосовується до прямокутного трикутника, незалежно від типу трикутника.

Приклад задачі

Довжина медіани, проведеної через гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює 10 см. А один з катетів 12 см. Знайдіть периметр трикутника.

рішення

Гіпотенуза трикутника, як випливає з Властивості 1, удвічі більше медіани. Ті. дорівнює: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

Використовуючи теорему Піфагора, знаходимо довжину другого катета (беремо за "В", знаменита ніжка – за "до", гіпотенуза – для "з"):

b² = c² - ² = 20² - 12² = 256.

Отже, b = 16 см.

Тепер ми знаємо довжини всіх сторін і можемо обчислити периметр фігури:

P_△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.