Що таке межа функції

У цій публікації ми розглянемо одне з основних понять математичного аналізу – межу функції: його визначення, а також різні рішення з практичними прикладами.

Визначення границі функції

Обмеження функції – значення, до якого прагне значення цієї функції при прагненні її аргументу до граничної точки.

Лімітний запис:

• обмеження позначається піктограмою лім;
• нижче додається значення, до якого прагне аргумент (змінна) функції. Зазвичай це x, але не обов'язково, наприклад:x→1″;
• потім сама функція додається праворуч, наприклад:

  

Таким чином, підсумковий запис ліміту виглядає так (у нашому випадку):

Читається як “межа функції при прагненні x до одиниці”.

x→ 1 – це означає, що «х» послідовно приймає значення, нескінченно наближаються до одиниці, але ніколи з нею не збігаються (не будуть досягнуті).

Межі рішення

Із заданим числом

Розв’яжемо вищевказану межу. Для цього просто підставте одиницю у функції (т. к x→1):

Таким чином, щоб розв’язати межу, ми спочатку намагаємося просто підставити дане число у функцію під ним (якщо x прагне до певного числа).

З нескінченністю

У цьому випадку аргумент функції нескінченно зростає, тобто "Х" прямує до нескінченності (∞). Наприклад:

If x→∞, то задана функція прагне до мінус нескінченності (-∞), оскільки:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 тощо.

Інший більш складний приклад

Щоб вирішити цю межу, просто збільште значення x і подивіться на «поведінку» функції в цьому випадку.

• РџСЂРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• РџСЂРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• РџСЂРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким чином, для "Х"прагне до нескінченності, функція x² +3x –6 росте нескінченно.

З невизначеністю (x прагне до нескінченності)

У цьому випадку мова йде про границі, коли функція є дріб, чисельник і знаменник якого є поліномами. При чому "Х" прагне до нескінченності.

приклад: давайте розрахуємо межу нижче.

рішення

Вирази як у чисельнику, так і в знаменнику прагнуть до нескінченності. Можна припустити, що в цьому випадку розв'язок буде таким:

Однак не все так просто. Щоб розв’язати межу, нам потрібно зробити наступне:

1 Знайдіть x у найбільшому ступені для чисельника (в нашому випадку це двійка).

2. Так само визначаємо x у найбільшому ступені для знаменника (також дорівнює двом).

3. Тепер ділимо і чисельник, і знаменник на x у старшому ступені. У нас в обох випадках – у другому, але якби вони були різними, то треба брати найвищий ступінь.

4. В отриманому результаті всі дроби прагнуть до нуля, тому відповідь 1/2.

З невизначеністю (x прагне до певного числа)

І чисельник, і знаменник є многочленами, однак, "Х" прагне до певного числа, а не до нескінченності.

У цьому випадку ми умовно закриваємо очі на те, що знаменник дорівнює нулю.

приклад: Давайте знайдемо межу функції нижче.

рішення

1. Спочатку підставимо число 1 у функцію, до якої "Х". Ми отримуємо невизначеність форми, яку ми розглядаємо.

2. Далі розкладаємо чисельник і знаменник на множники. Для цього можна скористатися формулами скороченого множення, якщо вони підходять, або.

У нашому випадку корені виразу в чисельнику (2x² – 5x + 3 = 0) є числа 1 і 1,5. Тому його можна представити у вигляді: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменник (x–1) спочатку простий.

3. Отримуємо такий змінений ліміт:

4. Дріб можна скоротити на (x–1):

5. Залишається тільки підставити число 1 в отриманий вираз під границею: