Система лінійних алгебраїчних рівнянь

У цій публікації ми розглянемо визначення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛРР), як вона виглядає, які бувають типи, а також як її представити в матричному вигляді, в тому числі розширеному.

Означення системи лінійних рівнянь

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (або скорочено «SLAU») — це система, яка загалом виглядає так:

• m – кількість рівнянь;
• n це кількість змінних.
• x₁, х₂,…, х_n – невідомий;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – коефіцієнти для невідомих;
• b₁, б₂,…, б_m – вільні члени.

Індекси коефіцієнтів (a_ij) формуються таким чином:

• i – номер лінійного рівняння;
• j це номер змінної, до якої відноситься коефіцієнт.

Рішення СЛАУ – такі цифри c₁, C₂,…, c_n , у встановленні якого замість x₁, х₂,…, х_n, то всі рівняння системи перетворяться на тотожності.

Види СЛАУ

1. Однорідний – усі вільні члени системи дорівнюють нулю (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Гетерогенний – якщо умова вище не виконується.
3. Площа – кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, тобто. m = n.

   

4. Недовизначений – кількість невідомих більша за кількість рівнянь.

   

5. переосмислений Існує більше рівнянь, ніж змінних.

   

Залежно від кількості рішень СЛАЕ може бути:

1. Спільний має принаймні одне рішення. Причому, якщо вона єдина, то система називається визначеною, якщо розв’язків кілька – невизначеною.

   

   Наведений вище SLAE є спільним, оскільки існує принаймні одне рішення: х = 2, y = 3.

2. несумісні Система не має рішень.

   

   Праві частини рівнянь однакові, а ліві – ні. Таким чином, рішень немає.

Матричні записи системи

SLAE можна представити у матричній формі:

AX = B

• A – матриця, утворена коефіцієнтами невідомих:

  

• X – стовпець змінних:

  

• B – колонка вільних учасників:

  

Приклад

Представимо систему рівнянь у матричній формі:

Використовуючи форми вище, ми складаємо основну матрицю з коефіцієнтами, стовпцями з невідомими та вільними членами.

Повний запис заданої системи рівнянь у матричній формі:

Розширена матриця SLAE

Якщо до матриці системи A додати колонку безкоштовних учасників праворуч B, розділивши дані вертикальною рискою, ви отримаєте розширену матрицю SLAE.

Для наведеного вище прикладу це виглядає так:

– позначення розширеної матриці.