Піднесення комплексного числа до натурального степеня

У цій публікації ми розглянемо, як комплексне число можна піднести до степеня (в тому числі за допомогою формули Де Муавра). Для кращого розуміння теоретичний матеріал супроводжується прикладами.

Піднесення комплексного числа до степеня

По-перше, запам'ятайте, що комплексне число має загальний вигляд: z = a + bi (алгебраїчна форма).

Тепер можна приступати безпосередньо до вирішення проблеми.

Квадратне число

Ми можемо представити ступінь як добуток тих самих множників, а потім знайти їхній добуток (при цьому пам’ятаючи це i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Приклад 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Ви також можете використовувати, а саме квадрат суми:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Примітка: Таким же чином при необхідності можна отримати формули квадрата різниці, куба суми / різниці і т.д.

N-й ступінь

Підніміть комплексне число z натурою n набагато легше, якщо його представити в тригонометричному вигляді.

Нагадаємо, що в загальному вигляді запис числа виглядає так: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Для піднесення до степеня можна використовувати Формула де Муавра (названий на честь англійського математика Авраама де Муавра):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Формула виходить шляхом запису в тригонометричному вигляді (модулі перемножуються, а аргументи додаються).

Приклад 2

Підніміть комплексне число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) до восьмого ступеня.

рішення

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).