Добування кореня з комплексного числа

У цій публікації ми розглянемо, як можна витягти корінь із комплексного числа, а також як це може допомогти у розв’язуванні квадратних рівнянь, дискримінант яких менший за нуль.

Добування кореня з комплексного числа

Квадратний корінь

Як ми знаємо, витягти корінь з від’ємного дійсного числа неможливо. Але якщо мова йде про комплексні числа, цю дію можна виконати. Давайте розберемося.

Скажімо, у нас є число z = -9. Форум √-9 є два корені:

z₁ = √-9 = -3і

z₁ = √-9 = 3і

Перевіримо отримані результати, розв’язавши рівняння z² = -9, не забуваючи про це i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ я² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3і)² = 3² ⋅ я² = 9 ⋅ (-1) = -9

Таким чином, ми це довели -3і и 3i є корінням √-9.

Корінь від'ємного числа зазвичай записують так:

√-1 = ±i

√-4 = ±2і

√-9 = ±3і

√-16 = ±4і і т.п.

Корінь у степені n

Припустимо, нам задано рівняння виду z = ⁿ√w… Це має n коріння (z₀або₁або₂,…, z_н-1), яку можна розрахувати за наведеною нижче формулою:

|w| є модулем комплексного числа w;

φ – його аргумент

k це параметр, який приймає значення: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратні рівняння з комплексними коренями

Витяг кореня з негативного числа змінює звичне уявлення про uXNUMXbuXNUMXb. Якщо дискримінант (D) менше нуля, то дійсних коренів бути не може, але їх можна представити у вигляді комплексних чисел.

Приклад

Давайте розв’яжемо рівняння x² – 8x + 20 = 0.

рішення

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ас = 64 - 80 = -16

D < 0, але ми все ще можемо взяти корінь негативного дискримінанта:

√D = √-16 = ±4і

Тепер ми можемо обчислити корені:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4і)/2 = 4 ± 2і.

Тому рівняння x² – 8x + 20 = 0 має два комплексно спряжені корені:

x₁ = 4 + 2і

x₂ = 4 – 2і