Тотожні перетворення виразів

У цій публікації ми розглянемо основні види тотожних перетворень алгебраїчних виразів, супроводивши їх формулами та прикладами для демонстрації їх застосування на практиці. Метою таких перетворень є заміна вихідного виразу тотожно рівним.

зміст

Перестановка термінів і факторів

У будь-якій сумі ви можете переставляти доданки.

a + b = b + a

У будь-якому продукті ви можете переставляти фактори.

a ⋅ b = b ⋅ a

приклади:

  • 1 2 + 2 = 1 + XNUMX XNUMX
  • 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Терми групування (множники)

Якщо в сумі більше 2 доданків, їх можна згрупувати дужками. Якщо потрібно, ви можете спочатку поміняти їх місцями.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

У добутку також можна групувати фактори.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (а ⋅ г) ⋅ (б ⋅ в)

приклади:

  • 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
  • 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Додавання, віднімання, множення або ділення на одне й те саме число

Якщо одне й те саме число додається або віднімається до обох частин тотожності, то воно залишається істинним.

If a + b = c + dпотім (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Також рівність не порушиться, якщо обидві її частини помножити або поділити на одне й те саме число.

If a + b = c + dпотім (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

приклади:

  • 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
  • 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Заміна різниці сумою (часто добутком)

Будь-яку різницю можна представити як суму доданків.

a – b = a + (-b)

Цей же трюк можна застосувати до ділення, тобто замінити часті на добуток.

a : b = a ⋅ b-1

приклади:

  • 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
  • 42 : 3 = 42 ⋅ 3-1

Виконання арифметичних дій

Спростити математичний вираз (іноді значно) можна, виконуючи арифметичні дії (додавання, віднімання, множення і ділення), враховуючи загальноприйняті порядок виконання:

  • спочатку зводимо до степеня, витягуємо корені, обчислюємо логарифми, тригонометричні та інші функції;
  • потім виконуємо дії в дужках;
  • в останню чергу – зліва направо, виконати інші дії. Множення і ділення мають перевагу над додаванням і відніманням. Це також стосується виразів у дужках.

приклади:

  • 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
  • 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Розширення кронштейна

Дужки в арифметичному виразі можна прибрати. Ця дія виконується за певними – в залежності від того, які знаки («плюс», «мінус», «множити» або «ділити») стоять перед або після дужок.

приклади:

  • 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
  • 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
  • 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
  • 18 : (4 – 6) = 18:4-18:6

Виведення загального множника в дужки

Якщо всі доданки у виразі мають спільний множник, його можна винести за дужки, в яких залишаться доданки, поділені на цей множник. Ця техніка також застосовується до літеральних змінних.

приклади:

  • 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
  • 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
  • 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Застосування формул скороченого множення

Ви також можете використовувати для виконання ідентичних перетворень алгебраїчних виразів.

приклади:

  • (31 + 4)2 = 312 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 42 = 1225
  • 262 - 72 = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627

залишити коментар