Висотні властивості прямокутного трикутника

У цій публікації ми розглянемо основні властивості висоти в прямокутному трикутнику, а також розберемо приклади розв'язування задач з даної теми.

Примітка: трикутник називається прямокутний, якщо один із його кутів прямий (дорівнює 90°), а два інших — гострі (<90°).

Властивості висоти в прямокутному трикутнику

Властивість 1

Прямокутний трикутник має дві висоти (h₁ и h₂) збігаються з його катетами.

третя висота (h₃) спадає до гіпотенузи під прямим кутом.

Властивість 2

Ортоцентр (точка перетину висот) прямокутного трикутника знаходиться у вершині прямого кута.

Властивість 3

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить його на два подібних прямокутних трикутника, які також подібні до початкового.

1. △ABD ~ △азбука під двома рівними кутами: ∠Азіатський банк розвитку = ∠LAC (прямі), ∠ABD = ∠ABC

2. △ADC ~ △азбука під двома рівними кутами: ∠ADC = ∠LAC (прямі), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC під двома рівними кутами: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Доказ: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). У той же час ∠ACD (ACB) = 90° – ∠азбука.

Отже, ∠BAD = ∠ACD.

Подібним чином можна довести, що ∠ABD = ∠DAC.

Властивість 4

У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, обчислюється так:

1. Наскрізні відрізки по гіпотенузі, що утворюється в результаті поділу її основою висоти:

2. Через довжини сторін трикутника:

Ця формула походить від Властивості синуса гострого кута у прямокутному трикутнику (синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи):

Примітка: до прямокутного трикутника також застосовуються загальні властивості висоти, представлені в нашій публікації.

Приклад задачі

Завдання 1

Гіпотенуза прямокутного трикутника ділиться проведеною до неї висотою на відрізки 5 і 13 см. Знайдіть довжину цієї висоти.

рішення

Скористаємося першою формулою, представленою в Властивість 4:

Завдання 2

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 12 см. Знайдіть довжину висоти, проведеної до гіпотенузи.

рішення

Спочатку знайдемо довжину гіпотенузи (нехай катети трикутника будуть "до" и "В", а гіпотенуза є «проти»):

c² = A² + b² = 9² + 12² = 225.

Отже, с = 15 см.

Тепер ми можемо застосувати другу формулу з Властивості 4розглянуто вище: