зміст
У цій статті ми розглянемо означення медіани трикутника, перерахуємо її властивості, а також розберемо приклади розв'язування задач на закріплення теоретичного матеріалу.
Означення медіани трикутника
Медіана це відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою сторони, протилежної цій вершині.
- BF — медіана, проведена до сторони AC.
- AF = FC
Основна медіана – точка перетину медіани зі стороною трикутника, інакше кажучи, середина цієї сторони (точка F).
медіанні властивості
Властивість 1 (основна)
Тому що якщо трикутник має три вершини і три сторони, то медіан відповідно три. Усі вони перетинаються в одній точціO), що називається центроїд or центр ваги трикутника.
У точці перетину медіан кожна з них ділиться у співвідношенні 2:1, рахуючи від верху. Ті.:
- AO = 2OE
- BO = 2OF
- CO = 2OD
Властивість 2
Медіана ділить трикутник на 2 трикутники однакової площі.
S1 = S2
Властивість 3
Три медіани ділять трикутник на 6 трикутників однакової площі.
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6
Властивість 4
Найбільшій стороні трикутника відповідає найменша медіана, і навпаки.
- AC є найдовшою стороною, отже, медіаною BF - найкоротший.
- AB є найкоротшою стороною, отже, медіаною CD - найдовший.
Властивість 5
Припустимо, ми знаємо всі сторони трикутника (приймемо їх за a, b и c).
середня довжина maвідведений убік a, можна знайти за формулою:
Приклади завдань
Завдання 1
Площа однієї з фігур, що утворилася в результаті перетину трьох медіан у трикутнику, дорівнює 5 см.2. Знайдіть площу трикутника.
рішення
Відповідно до властивості 3, розглянутої вище, в результаті перетину трьох медіан утворюється 6 рівних за площею трикутників. Отже:
S△ = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.
Завдання 2
Сторони трикутника дорівнюють 6, 8 і 10 см. Знайдіть медіану, проведену до бічної сторони довжиною 6 см.
рішення
Скористаємося формулою, наведеною у властивості 5:
