У цій публікації ми розглянемо одну з головних теорем евклідової геометрії – теорему Стюарта, яка отримала таку назву на честь англійського математика М. Стюарта, який її довів. Також детально розберемо приклад розв’язання задачі на закріплення викладеного матеріалу.
Формулювання теореми
Дан трикутник азбука. Поруч з ним AC точка взята D, яка з’єднана з верхньою B. Ми приймаємо такі позначення:
- АВ = а
- до н.е. = b
- BD = p
- AD = x
- DC = і
Для цього трикутника вірна рівність:
Застосування теореми
З теореми Стюарта можна вивести формули для знаходження медіан і бісектрис трикутника:
1. Довжина бісектриси
Дозволяти lc — бісектриса, проведена до сторони c, яка поділена на сегменти x и y. Візьмемо дві інші сторони трикутника як a и b… В цьому випадку:
2. Середня довжина
Дозволяти mc — медіана, повернута вниз у бік c. Позначимо дві інші сторони трикутника як a и b… Потім:
Приклад задачі
Дано трикутник ABC На стороні АС дорівнює 9 см, точка взята D, яка ділить сторону так, що AD вдвічі довше DC. Довжина відрізка, що сполучає вершину B і точка D, становить 5 см. У цьому випадку утворюється трикутник ABD є рівнобедреним. Знайдіть сторони трикутника, що залишилися азбука.
рішення
Зобразимо умови задачі у вигляді малюнка.
AC = AD + DC = 9 см. AD довше DC двічі, тобто AD = 2DC.
Отже, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX см. Так, DC = 3 см, AD = 6 см.
Тому що трикутник ABD – рівнобедрений, а бічний AD дорівнює 6 см, тому вони рівні AB и BDIe AB = 5 см.
Залишається тільки знайти BC, виводячи формулу з теореми Стюарта:
Підставляємо відомі значення в цей вираз:
Таким чином, BC = √52 ≈ 7,21 см.