зміст
У цій публікації ми розглянемо визначення рангу матриці, а також методи, за допомогою яких його можна знайти. Також розберемо приклади, щоб продемонструвати застосування теорії на практиці.
Визначення рангу матриці
Ранг матриці це ранг його системи рядків або стовпців. Будь-яка матриця має свої ранги рядків і стовпців, які рівні між собою.
Ранг системи рядків – максимальна кількість лінійно незалежних рядків. Подібним чином визначається ранг колонкової системи.
Примітки:
- Ранг нульової матриці (позначається символом “θ“) будь-якого розміру дорівнює нулю.
- Ранг будь-якого ненульового вектора-рядка або вектора-стовпця дорівнює одиниці.
- Якщо матриця будь-якого розміру містить хоча б один елемент, який не дорівнює нулю, то її ранг не менше одиниці.
- Ранг матриці не перевищує її мінімальної розмірності.
- Елементарні перетворення, виконані над матрицею, не змінюють її ранг.
Знаходження рангу матриці
Метод окантовки мінор
Ранг матриці дорівнює максимальному порядку ненуля.
Алгоритм роботи такий: знайдіть менші від найнижчих порядків до вищих. Якщо незначний nпорядку не дорівнює нулю, а всі наступні (n + 1) дорівнюють 0, тому ранг матриці дорівнює n.
Приклад
Щоб було зрозуміліше, давайте розберемо практичний приклад і знайдемо ранг матриці A нижче, використовуючи метод окантовки другорядних.
рішення
Ми маємо справу з матрицею 4 × 4, тому її ранг не може бути вище 4. Крім того, в матриці є ненульові елементи, тобто її ранг не менше одиниці. Отже, почнемо:
1. Почати перевірку неповнолітні другого порядку. Для початку беремо два ряди першого і другого стовпців.
Мінор дорівнює нулю.
Тому переходимо до наступного мінору (перший стовпчик залишається, а замість другого беремо третій).
Мінор дорівнює 54≠0, тому ранг матриці не менше двох.
Примітка: Якби цей мінор виявився рівним нулю, ми б додатково перевірили такі комбінації:
Якщо потрібно, перерахування можна продовжити таким же чином за допомогою рядків:
- 1 і 3;
- 1 і 4;
- 2 і 3;
- 2 і 4;
- 3 і 4.
Якби всі мінори другого порядку дорівнювали нулю, то ранг матриці дорівнював би одиниці.
2. Майже відразу вдалося знайти неповнолітнього, який нам підходить. Отже, переходимо до неповнолітні третього порядку.
До знайденого мінора другого порядку, який дав ненульовий результат, додаємо один рядок і один зі стовпців, виділених зеленим (починаємо з другого).
Мінор виявився нульовим.
Тому другу колонку міняємо на четверту. І з другої спроби нам вдається знайти мінор, який не дорівнює нулю, тобто ранг матриці не може бути менше 3.
Примітка: якби результат знову виявився нульовим, то замість другого рядка беремо далі четвертий і продовжуємо пошук «хорошого» мінора.
3. Тепер залишилося визначитися неповнолітні четвертого порядку на основі того, що було знайдено раніше. У цьому випадку це той, який відповідає визначнику матриці.
Мінор дорівнює 144≠0. Це означає, що ранг матриці A дорівнює 4.
Приведення матриці до ступінчастої форми
Ранг ступінчастої матриці дорівнює числу її ненульових рядків. Тобто все, що нам потрібно зробити, це привести матрицю до відповідного вигляду, наприклад, за допомогою , які, як ми вже згадували вище, не змінюють її ранг.
Приклад
Знайти ранг матриці B нижче. Ми не беремо надто складний приклад, тому що наша основна мета — просто продемонструвати застосування методу на практиці.
рішення
1. Спочатку від другої лінії відніміть подвоєну першу.
2. Тепер відніміть перший рядок від третього рядка, помноженого на чотири.
Таким чином, ми отримали ступінчасту матрицю, в якій кількість ненульових рядків дорівнює двом, тому її ранг також дорівнює 2.