У цій публікації ми розглянемо одну з класичних теорем афінної геометрії – теорему Чева, яка отримала таку назву на честь італійського інженера Джованні Чева. Також розберемо приклад розв’язання задачі з метою закріплення викладеного матеріалу.
Формулювання теореми
Дано трикутник азбука, у якому кожна вершина з’єднана з точкою на протилежній стороні.
Таким чином, отримуємо три сегменти (АА', BB' и CC'), які називаються cevians.
Ці відрізки перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність:
|І’| |НІ'| |CB'| = |до нашої ери'| |SHIFT'| |AB'|
Теорему можна подати і в такому вигляді (визначається, в якому відношенні точки ділять сторони):
Тригонометрична теорема Чеви
Примітка: всі кути орієнтовані.
Приклад задачі
Дано трикутник азбука з точками ДО', B ' и C ' по боках BC, AC и AB, відповідно. Вершини трикутника з'єднані з заданими точками, а утворені відрізки проходять через одну точку. При цьому точки ДО' и B ' взяті в серединах відповідних протилежних сторін. З'ясуйте, в якому співвідношенні точка C ' ділить сторону AB.
рішення
Намалюємо малюнок відповідно до умов задачі. Для нашої зручності ми приймаємо такі позначення:
- АВ’ = В’С = а
- BA' = A'C = b
Залишається тільки скласти відношення відрізків за теоремою Чеви і підставити в нього прийняті позначення:
Після скорочення дробів отримуємо:
Отже, AC' = C'B, тобто точка C ' ділить сторону AB в половині.
Тому в нашому трикутнику відрізки АА', BB' и CC' є медіанами. Розв'язавши задачу, ми довели, що вони перетинаються в одній точці (справедливо для будь-якого трикутника).
Примітка: Використовуючи теорему Чеви, можна довести, що в трикутнику в одній точці бісектриси або висоти також перетинаються.