Ознаки подільності чисел

У цій публікації ми розглянемо ознаки подільності на числа від 2 до 11, супроводивши їх прикладами для кращого розуміння.

Свідоцтво про подільність – це алгоритм, за допомогою якого можна порівняно швидко визначити, чи кратне число, що розглядається, заданому (тобто чи ділиться воно на нього без залишку).

Ознака подільності на 2

Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра парна, тобто також ділиться на два.

приклади:

• 4, 32, 50, 112, 2174 – останні цифри цих чисел парні, тобто вони діляться на 2.
• 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не діляться на 2, тому що їх останні цифри непарні.

Ознака подільності на 3

Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума всіх його цифр також ділиться на XNUMX.

приклади:

• 18 – ділиться на 3, тому що. 1+8=9, а число 9 ділиться на 3 (9:3=3).
• 132 – ділиться на 3, тому що. 1+3+2=6 і 6:3=2.
• 614 не кратне 3, тому що 6+1+4=11, а 11 не ділиться на 3 навпіл (11: 3 = 3²/₃).

Ознака подільності на 4

двоцифрове число

Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли сума подвоєної цифри в розряді десятків і цифри в розряді одиниць також ділиться на чотири.

приклади:

• 64 – ділиться на 4, тому що. 6⋅2+4=16 і 16:4=4.
• 35 не ділиться на 4, тому що 3⋅2+5=11, і 11: 4 2 =³/₄.

Кількість цифр більше 2

Число є кратним 4, якщо його останні дві цифри утворюють число, що ділиться на чотири.

приклади:

• 344 – ділиться на 4, тому що. 44 кратне 4 (згідно з наведеним вище алгоритмом: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
• 5219 не кратне 4, тому що 19 не ділиться на 4.

Примітка:

Число ділиться на 4 без остачі, якщо:

• в його останній цифрі стоять числа 0, 4 або 8, а передостання цифра парна;
• в останній цифрі – 2 або 6, а в передостанній – непарні числа.

Ознака подільності на 5

Число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра дорівнює 0 або 5.

приклади:

• 10, 65, 125, 300, 3480 – ділиться на 5, тому що закінчується на 0 або 5.
• 13, 67, 108, 649, 16793 – не діляться на 5, тому що їх останні цифри не 0 і не 5.

Ознака подільності на 6

Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно кратне двом і трьом одночасно (див. знаки вище).

приклади:

• 486 – ділиться на 6, тому що. ділиться на 2 (остання цифра числа 6 парна) і на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
• 712 – не ділиться на 6, тому що воно кратне 2.
• 1345 – не ділиться на 6, тому що не кратне ні 2, ні 3.

Ознака подільності на 7

Число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли сума трьох десятків і цифр у розряді одиниць також ділиться на сім.

приклади:

• 91 – ділиться на 7, тому що. 9⋅3+1=28 і 28:7=4.
• 105 – ділиться на 7, тому що. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (у числі 105 десять десятків).
• 812 ділиться на 7. Тут такий ланцюжок: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28 і 28:7=4.
• 302 – не ділиться на 7, тому що 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а 29 не ділиться на 7.

Ознака подільності на 8

тризначне число

Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли сума цифри одиниць, подвоєної цифри десятків і почетвереної цифри сотень ділиться на вісім.

приклади:

• 264 – ділиться на 8, тому що. 2⋅4+6⋅2+4=24 і 24:8=3.
• 716 – 8 не ділиться, тому що 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36: 8 4 =¹/₂.

Кількість цифр більше 3

Число ділиться на 8, якщо останні три цифри утворюють число, яке ділиться на 8.

приклади:

• 2336 – ділиться на 8, тому що 336 кратне 8.
• 12547 не кратне 8, тому що 547 не ділиться на вісім.

Ознака подільності на 9

Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума всіх його цифр також ділиться на дев'ять.

приклади:

• 324 – ділиться на 9, тому що. 3+2+4=9 і 9:9=1.
• 921 – не ділиться на 9, тому що 9+2+1=12 і 12: 9 1 =¹/₃.

Ознака подільності на 10

Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.

приклади:

• 10, 110, 1500, 12760 кратні 10, остання цифра 0.
• 53, 117, 1254, 2763 не діляться на 10.

Ознака подільності на 11

Число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різниця між сумами парних і непарних цифр дорівнює нулю або ділиться на одинадцять.

приклади:

• 737 – ділиться на 11, тому що. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
• 1364 – ділиться на 11, тому що |(1+6)-(3+4)|=0.
• 24587 не ділиться на 11, оскільки |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не ділиться на 11.